PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
Es la probabilidad de que ocurra un evento A,
sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad
condicional se escribe P(A|B), y se lee «la
probabilidad de A dado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede
preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir
simultáneamente. A puede causar B, viceversa o
pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son
nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un
papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
Como
la probabilidad está ligada a nuestra ignorancia sobre los resultados de la
experiencia, el hecho de que ocurra un suceso, puede cambiar la probabilidad de
los demás. El proceso de realizar la historia clínica, explorar y realizar
pruebas complementarias ilustra este principio.
Hablar de probabilidad en la cotidianidad se ha vuelto casi que un requisito del lenguaje, quién no ha hecho preguntas como: "¿Qué tan probable es que haga sol mañana dado que hoy es un día soleado?", o ¿Qué tan probable es ganar la lotería dado que se compra todos los días? . Estas y otras cuestiones hacen de la probabilidad la base de muchas decisiones de la ciencia, la industria y el comercio, etc.
1. PROBABILIDAD CONDICIONAL
CASO 1
El departamento de control de calidad de una empresa que fabrica morrales cuenta con un inspector que revisa los lotes de 50 morrales y determina si pueden ser llevados a los puntos de venta o no. El criterio que ha establecido el departamento consiste que: el inspector selecciona de forma aleatoria un morral y lo somete a pruebas de resistencia para decidir si está en óptimas condiciones.
En caso afirmativo, aprueba el lote y lo envía a los puntos de venta. Si el morral no pasa las pruebas, se selecciona de forma aleatoria otro morral y se somete a al mismo proceso. En caso de superarlas, el lote es aprobado y se envía a los puntos de venta. Si el segundo morral no las supera, entonces, se devuelve todo el lote al departamento de armado para que sea revisado.
Un determinado día llega al departamento un lote con cinco morrales defectuosos. Sea A ,el evento que consiste en que el lote es rechazado en la primera prueba.
La probabilidad de ocurrencia de A es P(A) = 5/50 = 1/10 = 0,10.
Sea B, el evento que consiste en que el lote sea rechazado en la segunda prueba. Para calcular su probabilidad se debe tener en cuanta que:
- Si se realiza una segunda prueba se debe haber dado que el primer morral no superó las pruebas de resistencia.
- Para escoger el segundo morral ya no se tiene la totalidad del lote, 50 maletines; se dispone de 49.
- Si se considera que se debe realizar la segunda prueba es porque el primer morral fue defectuoso, es decir que, en el lote se tienen 4 morrales defectuosos.
Por tanto, para calcular la probabilidad de B se tiene una condición anterior, que para este caso es A. Es decir que para que el lote sea rechazado en la segunda prueba debe existir la condición en la cual el primer morral no aprobó las pruebas. Por tanto, A es condición sobre B.
En algunos experimentos aleatorios es necesario establecer si existen eventos que son condiciones sobre otro evento. Generalmente, se asocia el evento condición como el evento que sucede primero, temporalmente hablando.
En los casos en los cuales sea necesario usar la probabilidad condicional es importante identificar los dos eventos involucrados en el experimento aleatorio.
CASO 2
- Se lanza tres monedas al aire. Si la primera moneda cae cara, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda caiga en cara?
El espacio muestral del experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas se muestra a continuación:
S = [CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS]
S = [CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS]
Sean, A el evento que consiste en que la primera moneda cae cara y B el evento que consiste en que la segunda moneda cae cara. En este caso, el evento A es condición para el evento B, ya que, se sabe que el resultado de la primera moneda fue cara.
Se tiene que, P(A ∩ B) = 2/8 y P(A) = 4/8. Por lo tanto,
P(B/A) = P(A ∩ B) / P(A) = 2/8/4/8 = 2/4 = 0.50
La probabilidad de que se obtenga cara en la segunda moneda dado que la primera fue cara es de 0.50
- Cuatro estudiantes, Mateo, Hernando, Eliana y Nelly se han seleccionado para participar en la final del encuentro regional de poesía. El estudiante que ocupe el primer premio recibirá una beca para un curso de lectura rápida y el estudiante que ocupe el segundo recibirá un bono para compra de libros. Si Hernando ganó el bono, ¿cuál es la probabilidad de que Nelly gane la beca?
El espacio muestral de evento que consiste en seleccionar una muestra ordenada de dos elementos de una población de cuatro estudiantes se muestra a continuación:
S = [MH, HM, ME, EM, MN, NM, HE, EH, HN, NH, EN, NE]
Donde, M: Mateo, H: Hernando, E: Eliana y N: Nelly.
Sea A, el evento que consiste en que Nelly gana la beca y B el evento que consiste en que Hernando gane el bono.
Se tiene que, P(A∩ B) = 1/12 y P(B) = 3/12. Por lo tanto,
P(B/A) = P(A∩B) / P(B) = 1/12/3/12 = 1/3
La probabilidad de que Nelly gane la beca si Hernando ganó el bono es de 0,33.
- La probabilidad de que, en una cierta ciudad, una familia tenga un seguro de vida es de 0,25, la probabilidad de que una familia tenga casa propia es de 0,5, además, la probabilidad de que una familia tenga un seguro de vida o casa propia o ambas es de 0,65. Si se selecciona una familia que tiene casa propia, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un seguro de vida?
Sea A, el evento que consiste en que la familia tiene un seguro de vida y B el evento que consiste en que la familia tiene casa propia.
Se sabe que P(A) = 0.25, P(B)=0.50, Y P(A∩B)=0.65
Además, P(A⋃B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
0,65 = 0,25 + 0,50 - P(A∩B)
P(A∩B) = 0,10
Se sabe que la familia seleccionada tiene casa propia, entonces, el evento B es condición para el evento A. Por tanto:
P(B/A)= P(A∩B) / P(B) = 0,1/0,5=0,2
La probabilidad de que al seleccionar una familia con cosa propia esta tengaun seguro de vida es de 0,20. es posible ver que la probabilidad condicional no es un operador conmutativo. Por Ejemplo, si se calcula P(A/A), en el caso de las familias se tiene que:
La probabilidad de que al seleccionar una familia con cosa propia esta tengaun seguro de vida es de 0,20. es posible ver que la probabilidad condicional no es un operador conmutativo. Por Ejemplo, si se calcula P(A/A), en el caso de las familias se tiene que:
P(B/A)= P(A∩B) / P(B) = 0,1/0,25=0,40
Por lo tanto, P(A/B) ≠ P(B/A).
En el contexto del problema, es diferente seleccionar una familia que tenga seguro de vida dentro de las que tiene casa propia a que se seleccione una que tenga casa propia dentro de las que tiene seguro de vida.
Es posible determinar la probabilidad condicional a partir de una tabla de doble entrada o tabla de contingencia. Para esto, es necesario establecer cuáles eventos relacionados y cuál de ellos es la condición.
CASO 3
Una encuesta realizada a 600 familias pretende relacionar el número de hijos con el ingreso mensual en cada una. Por vía telefónica se preguntó a los encuestados por el número de hijos que tienen y por el ingreso económico, medido en miles de pesos, que recibe la familia por concepto del trabajo de sus padres.
Una encuesta realizada a 600 familias pretende relacionar el número de hijos con el ingreso mensual en cada una. Por vía telefónica se preguntó a los encuestados por el número de hijos que tienen y por el ingreso económico, medido en miles de pesos, que recibe la familia por concepto del trabajo de sus padres.
Los resultados se muestran en la siguiente tabla:
- Al seleccionar una familia, dentro de las que tienen un hijo, ¿cuál es la probabilidad de que tenga ingresos mayores a $1.200.00?
Los eventos relacionados son:
A: La familia tiene un hijo
B: La familia tiene ingresos superiores a $1.200.000.
Ya que, la familia seleccionada debe tener un hijo, el evento A es condición sobre el B, además,
P(A)= 222/600, P(A∩B) = 80/600
Por tal razón, P(B/A) = P(A∩B) / P(A) = 80/600/222/600 = 80/222 =0,3604
La probabilidad que la familia tengan un hijo e ingresos superiores a $1.200.00 es de 0,3604.
- Si se selecciona una familia dentro de las que tienen ingresos menores a $400.000, ¿cuál es la probabilidad de que tengan más de 2 hijos?
Los eventos son:
C: La familia tiene más de dos hijos
D: La familia tiene ingresos inferiores a $400.000.
C: La familia tiene más de dos hijos
D: La familia tiene ingresos inferiores a $400.000.
En este caso, la familia se selecciona dentro de las que tienen ingresos menores a $400.000, por tanto C es condición de D.
Además, P(C) = 76/600, P(C∩D) = 9/600.
Así, P(C/D) = P(C∩D) / P(D) = 9/600/76/600 = 9/76 = 0,1184.
La probabilidad que una familia con ingresos menores a $400.000 tengan más de dos hijos es de 0,1184.
Uno de los principales usos de la probabilidad condicional se obtiene de la fórmula, de tal forma que permite calcular la probabilidad de la intersección de los dos eventos, P(B/A)=P(A∩B) / P(A). En forma similar,
P(A∩B) = P(B/A) X P(A) P(A/B) = P(A∩B) / P(B) = P(A∩B) = P(A/B) X P(B)
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