INDEPENDENCIA
En teoría
de probabilidades, se dice que dos sucesos aleatorios son independientes entre
sí cuando la probabilidad de cada uno de ellos no está
influida porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no
están relacionados , o en otras palabra dos variables
estadísticas son estadísticamente independientes cuando el
comportamiento estadístico de una de ellas no se ve afectado por los valores
que toma la otra;
Cuando se calcula la probabilidad condicional de dos eventos A y B, donde B es condición de A y el resultado es la misma probabilidad de A, se dice que B influye sobre la ocurrencia de A. En estos casos, se dice que A y B son independientes.
Sean A y B eventos de un experimento aleatorio, se dice que A y B son independientes sí.
P(A/B) = P(A), o, P(B/A) = P(B)
El concepto de independencia es fundamental en la construcción de modelos matemáticos de algunos experimentos aleatorios.
CASO 1
Se lanzan un dado y una moneda al aire. Sea A el evento que consiste en que la moneda caiga cara y B el evento que consiste en que el resultado del dado sea un número primo.
Usando el concepto de independencia determinar si A y B son independientes.
SOLUCION
El espacio muestral correspondiente al experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado y una moneda se muestra a continuación.
S = [(C,1), (C,2), (C,3), (C,4), (C,5), (C,6), (S,1), (S,2), (S,3), (S,4), (S,5), (S,6)]
La pareja (C, 1) indica que la moneda cayó en cara y el dado cayó en 1.
Se tiene las siguientes probabilidades,
P(A) = 6/12 = 1/2, P(B) = 6/12 =1/2, P(A∩B) = 3/12 = 1/4
Al considerar las probabilidades,
P(A/B) = P(A∩B) / P(B) = 3/12/6/12 = 3/6 = 1/2 = P(A)
P(B/A) = P(A∩B) / P(A) = 3/12/6/12 = 3/6 = 1/2 = P(B)
Por lo tanto, los eventos A y B son independientes, es decir, el resultado de la moneda no influye en el resultado del dado.
Una de las aplicaciones más importantes de la independencia de dos eventos se propone a partir de la forma alterna para calcular la intersección de dos eventos.
Regla de la multiplicación
Sea A y B dos eventos independientes, entonces,
P(A/B) = P(A)
P(A∩B) / P(B) = P(A)
Por lo tanto, P(A∩B) = P(A) x P(B)
La independencia de eventos permite, entre otras aplicaciones, calcular la probabilidad de funcionamiento de sistemas en los cuales se utiliza más de un dispositivo. En estos casos es importante utilizar las fórmulas, para la unión y la intersección de eventos.
CASO 2
Juan y su esposa deciden comprar una póliza de seguro de vida. El asesor calcula la expectativa de vida para los siguientes diez años. Para la esposa es 0,80 y para Juan es 0,75. Si se supone que las expectativas de vida son independientes, ¿Cuál es la expectativa de vida de los dos para los siguientes diez años?
SOLUCIÓN
Sea A, el evento que consiste en que Juan sobrevive durante los siguientes diez años y B, el evento que consiste en que la esposa sobrevive por los próximos diez años.
Se tiene que P(A) = 0,75, y P(B) = 0,8. Además, A y B son independientes, luego:
P(A∩B) = P(A) x P(B) = 0,75 x 0,8 = 0,6
La expectativa de vida de los dos para los siguientes diez años es 0,60
CASO 3
El 96% de los viajeros utilizan el servicio de transporte aeropuerto - hotel y el 35% de los viajeros utiliza el servicio de lavandería del hotel donde se hospedan. ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero utilice los servicios de transporte y de lavandería?
SOLUCIÓN
Sea A, el evento que consiste en que el viajero usa del transporte aeropuerto - hotel y B, el evento que consiste en que el viajero utiliza el servicio de lavandería del hotel.
En este caso se debe suponer que A y B son independientes, es decir, el hecho de que el viajero use el transporte no influye en el hecho de que use el servicio de lavandería. Por tanto,
P(A∩B) = 0,96 x 0,35 = 0,336.
En conclusión , la probabilidad de que use ambos servicios es de 0,336%.
El concepto de independencia es fundamental en la construcción de modelos matemáticos de algunos experimentos aleatorios.
CASO 1
Se lanzan un dado y una moneda al aire. Sea A el evento que consiste en que la moneda caiga cara y B el evento que consiste en que el resultado del dado sea un número primo.
Usando el concepto de independencia determinar si A y B son independientes.
SOLUCION
El espacio muestral correspondiente al experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado y una moneda se muestra a continuación.
S = [(C,1), (C,2), (C,3), (C,4), (C,5), (C,6), (S,1), (S,2), (S,3), (S,4), (S,5), (S,6)]
La pareja (C, 1) indica que la moneda cayó en cara y el dado cayó en 1.
Se tiene las siguientes probabilidades,
P(A) = 6/12 = 1/2, P(B) = 6/12 =1/2, P(A∩B) = 3/12 = 1/4
Al considerar las probabilidades,
P(A/B) = P(A∩B) / P(B) = 3/12/6/12 = 3/6 = 1/2 = P(A)
P(B/A) = P(A∩B) / P(A) = 3/12/6/12 = 3/6 = 1/2 = P(B)
Por lo tanto, los eventos A y B son independientes, es decir, el resultado de la moneda no influye en el resultado del dado.
Una de las aplicaciones más importantes de la independencia de dos eventos se propone a partir de la forma alterna para calcular la intersección de dos eventos.
Regla de la multiplicación
Sea A y B dos eventos independientes, entonces,
P(A/B) = P(A)
P(A∩B) / P(B) = P(A)
Por lo tanto, P(A∩B) = P(A) x P(B)
La independencia de eventos permite, entre otras aplicaciones, calcular la probabilidad de funcionamiento de sistemas en los cuales se utiliza más de un dispositivo. En estos casos es importante utilizar las fórmulas, para la unión y la intersección de eventos.
CASO 2
Juan y su esposa deciden comprar una póliza de seguro de vida. El asesor calcula la expectativa de vida para los siguientes diez años. Para la esposa es 0,80 y para Juan es 0,75. Si se supone que las expectativas de vida son independientes, ¿Cuál es la expectativa de vida de los dos para los siguientes diez años?
SOLUCIÓN
Sea A, el evento que consiste en que Juan sobrevive durante los siguientes diez años y B, el evento que consiste en que la esposa sobrevive por los próximos diez años.
Se tiene que P(A) = 0,75, y P(B) = 0,8. Además, A y B son independientes, luego:
P(A∩B) = P(A) x P(B) = 0,75 x 0,8 = 0,6
La expectativa de vida de los dos para los siguientes diez años es 0,60
CASO 3
El 96% de los viajeros utilizan el servicio de transporte aeropuerto - hotel y el 35% de los viajeros utiliza el servicio de lavandería del hotel donde se hospedan. ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero utilice los servicios de transporte y de lavandería?
SOLUCIÓN
Sea A, el evento que consiste en que el viajero usa del transporte aeropuerto - hotel y B, el evento que consiste en que el viajero utiliza el servicio de lavandería del hotel.
En este caso se debe suponer que A y B son independientes, es decir, el hecho de que el viajero use el transporte no influye en el hecho de que use el servicio de lavandería. Por tanto,
P(A∩B) = 0,96 x 0,35 = 0,336.
En conclusión , la probabilidad de que use ambos servicios es de 0,336%.
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