CLASE 2-CONJUNTOS

La probabilidad es la ciencia que trata de cuantificar los posibles resultados de un experimento en el cual está presente la incertidumbre o la aleatoriedad

Un experimento es un proceso que se observa con el fin de establecer una relación entre condiciones en que se realizan y los resultados que se obtienen. Se clasifican en:

• EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO

• EXPERIMENTO ALEATORIO

Un experimento determinístico es aquel que al ser realizado con las mismas condiciones iniciales produce los mismos resultados.

Ejemplo: Una operación de adición. 

Un experimento aleatorio es aquel que puede producir resultados diferentes, aun cuando se repita siempre de la misma manera.

Ejemplo: El lanzamiento de un dado.

   ESPACIO MUESTRAL 

se le llama espacio muestral  al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. El espacio muestral se denota como S.

Ejemplo 1:
Los resultados posibles del lanzamiento de un dado.

   S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

Ejemplo 2 :  Los resultados posibles del lanzamiento de una moneda.

               S = {Sello, Cara}

EVENTO 

Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. Los eventos normalmente se denotan con las letras mayúsculas A, B, C; y tienen la característica de ser subconjuntos de S ((A, B, C) Ì S). 

Se clasifican en:

• Evento simple, siendo aquel que tiene un solo punto muestral.
• Evento compuesto, siendo aquel que tiene dos o más puntos muestrales.

Donde el punto muestral es cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio. Representándose al número de puntos muestrales por #S.

Ejemplo: El lanzamiento de una moneda.

Experimento aleatorio: Lanzar una moneda tres veces.

Espacio muestral:

  S = {(S,S,S),(S,S,A),(S,A,S),(A,S,S),(A,A,S),(A,S,A),(S,A,A),(A,A,A)}

  #S = 8  S es el evento seguro

Evento Simple:

A: Que salga tres sellos

A= {(S,S,S)}

#A= 1

Evento Compuesto 

B. Que salga al menos dos sellos

B={(S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S)}

# B=4

Ante estos conceptos es posible llegar a pensar que un evento y un punto muestral son lo mismo, pero realmente no lo son. Un ejemplo claro se puede observar en el lanzamiento del dado, un evento sería por ejemplo que salga número par, para lo cual servirían los puntos muestrales {2} {4} {6}. De ahí las diferencias entre unos y otros.

OPERACIONES BÁSICAS CON EVENTOS ALEATORIOS 

Ya que los eventos son subconjuntos del espacio muestral S, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unión, la intersección y la diferencia de eventos.

Unión: Dados dos sucesos aleatorios , A,B Ì ,E , se denomina suceso unión de A y B al conjunto formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A o bien pertenecen a B incluyendo los que están en ambos simultáneamente.

Intersección: Dados dos sucesos aleatorio Diferencia: Dados dos sucesos aleatorios  A,B Ì E, se llama suceso diferencia de A y B, y se representa mediante A/B, o bien A-B, al suceso formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A, pero no a B. Diferencia simétrica: Si A,B Î E , se denomina suceso diferencia simétrica de A y B, y se representa mediante A D B al suceso aleatorio formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A y no a B, y los que están en B y no en A: Por Ejemplo , si :  A={1,2,3,4] y B= [3,4] A Δ B={3}

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos). Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea. La regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a: P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) Si A y B son mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B) + P(A y B) P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento AP (B) = probabilidad de ocurrencia del evento BP(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B Eventos Independientes Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo. EJEMPLOS Se tienen cinco libros de distintas materias: Matemática, Biología, Química, Física y Lenguaje. Si se toma uno de ellos, ¿cuál es  la probabilidad de que este sea de matemática o de Lenguaje? R/Sean los eventos A =Tomar el libro de Matemáticas. B =Tomar el libro de Lenguaje.             La probabilidad pedida es: P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)   Como A y B son eventos mutuamente excluyentes, P(A∩B) = 0. Por lo tanto, la probabilidad pedida nos queda: P(A∩B) = (1/5)+(1/5)-0= 2/5 Se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules. Cual es la probabilidad de: A sale un papel azul o B sale un papel rojo P(AoB)=P(AuB)=P(A)+P(B) =P(sale un azul)+P(sale 1 rojo) =10/50          +        15/50 =25/50 =1/2 Si escojo una carta de un mazo de 52, ¿cuál es la probabilidad de escoger un corazón o un diamante? Solución:    Sean A ≡extraer una carta corazón.         B ≡extraer un diamante. Hay 13 cartas de cada pinta, luego: P(A) = 13/52=1/4 = 0,25 P(B) = 13/52=1/4 = 0,25    La probabilidad de escoger un corazón o un diamante corresponderá a: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) P= 0,25 + 0,25 – P(A∩B) P(A∩B) = 0,5 Mientras que A∩B ≡{extraer una carta que sea corazón y diamante} = ∅entonces P(A∩B) = 0 Luego, queda únicamente en 0,5.                                         De un naipe inglés de 52 cartas se extrae una al azar cuál es la probabilidad que resulte 8 o trébol? La probabilidad de que uno de los dos eventos A o B ocurran es: P(A∪C) = P(A) + P(B) – P(A∩C) A ≡Obtener un 8 ⇒P(A) = 4/52 Pues existen 4 ochos en el naipe.       B ≡Obtener un trébol ⇒P(B) = 13/52 Pues existen 13 tréboles en el naipe. A∩C ≡Obtener un 8 trébol⇒P(A∩C) = 1/52 Pues existe un solo ocho trébol. Reemplazando estos valores obtenemos: P(A∪C) = (4+13-1)/52=16/52=8/26 Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un 2 ó un 3? Solución: A ≡Obtener un 2. B ≡Obtener un 3. La probabilidad pedida es: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)   Ambos son eventos mutuamente excluyentes, por lo tanto P(A∩B) = 0. P(A) = P(B) = 1/6 Con lo que la expresión (I) se transforma en: P(A∪B) = 1/6)+(1/6)-0= 2/6= 1/3

Como ejemplo, tenemos que la unión de un suceso cualquiera con su complementario es el suceso seguro.Volviendo al ejemplo del lanzamiento de un dado, si

       A={1,2,3,4] y B= [3,4]

el suceso unión de A y B es:AUB= [1,2,3,4]

se denomina suceso intersección de A y B al conjunto formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A y B a la vez.

    Volviendo al ejemplo del dado, si:

       A={1,2,3,4] y B= [3,4]

el suceso intersección de A y B es: A Ç B=[3]

Por ejemplo, si

      A={1,2,3,4] y B= [3,4]
 
    A-B={1,2}

        B-A={4}

http://tsu-estadistica.blogspot.com.co/2013/02/eventos-aleatorios-y-espacio-muestral.html

http://marcylissetheliasvasquez.blogspot.com.co/2008/09/eventos.htmlhttp://probabilidadmitad1.blogspot.com.co/p/blog-page_3906.html

http://aprendoestadistic.blogspot.com.co/2013/04/eventos-mutuamente-excluyentes.html

http://estadisticayprobabilida.blogspot.com.co/

http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones.html

http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/jmmarin/esp/LibroElec/Tema3/operaciones_basicas_con_sucesos_.htm